サイエンス

量子コンピュータ入門 #4：テンソル積とエンタングルメント

2025-12-22

6分で読める

中田拓海

#量子もつれ#エンタングルメント#テンソル積#ベル状態#CNOTゲート

量子コンピュータの基礎から応用まで、数式を交えて深く理解するシリーズ

1
量子コンピュータ入門 #1：量子コンピュータのための数学基礎
2
量子コンピュータ入門 #2：情報のベクトル表現と量子ビット
3
量子コンピュータ入門 #3：ブロッホ球と量子ゲートのユニタリ性
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4. 量子コンピュータ入門 #4：テンソル積とエンタングルメントこの記事
5
量子コンピュータ入門 #5：量子アルゴリズムの仕組み（ドイチュ・ジョサとグローバー）
6
量子コンピュータ入門 #6：ショアのアルゴリズムと量子フーリエ変換

1つの量子ビットはブロッホ球上の点で表せました。では、2つの量子ビットがあるとき、その状態は「2つのブロッホ球」で表せるでしょうか？答えは No です。ここに量子力学の最も本質的で、古典直感とかけ離れた性質「エンタングルメント（量子もつれ）」が潜んでいます。

1. 多量子ビット系の記述：テンソル積

2つの系 A と B を合成した系（全体）の状態空間は、個々のベクトル空間の テンソル積（Tensor Product） で構成されます。

定義

系 A の基底を {|0>_A, |1>_A}、系 B の基底を {|0>_B, |1>_B} とすると、合成系の基底は以下の4つのベクトルの組み合わせになります。

$|00\rangle = |0\rangle_A \otimes |0\rangle_B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \\ \\ \end{pmatrix} \\ |01\rangle = |0\rangle_A \otimes |1\rangle_B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ |10\rangle = |1\rangle_A \otimes |0\rangle_B = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ |11\rangle = |1\rangle_A \otimes |1\rangle_B = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

次元の爆発

一般に $n$ 個の量子ビットがある場合、その状態ベクトルは $2^n$ 次元の複素ベクトルになります。 $|\psi\rangle = \sum_{x=0}^{2^n-1} c_x |x\rangle$

$n=1$ : 2次元
$n=2$ : 4次元
$n=10$ : 1024次元
$n=50$ : 約1,125兆次元

この指数関数的な次元の増大が、量子コンピュータが古典コンピュータではシミュレーション不可能な計算能力を持つ源泉の一つです。

2. エンタングルメントの数学的定義

2量子ビット系のすべての状態が、個々の量子ビットの状態の積（テンソル積）で書けるわけではありません。

分離可能状態（Separable State）

ある状態 $|\psi\rangle$ が、以下のように個別の状態の積として書けるとき、その状態は 分離可能 であると言います。

$|\psi\rangle = |\psi_A\rangle \otimes |\psi_B\rangle$

この場合、それぞれの量子ビットは独立した状態を持っています（相関がない）。

エンタングル状態（Entangled State）

分離可能 でない 状態、つまりどうしても積の形に因数分解できない状態を、エンタングル状態（量子もつれ状態） と呼びます。

$|\psi\rangle \neq |\psi_A\rangle \otimes |\psi_B\rangle$

証明：ベル状態は因数分解できない

最も有名なエンタングル状態である「ベル状態」の一つを考えます。

$|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$

これが分離可能であると仮定して、矛盾を導きます。仮に分離可能だとすると、ある $\alpha_0, \alpha_1, \beta_0, \beta_1$ が存在して以下のように書けるはずです。

これを $|\Phi^+\rangle$ の係数と比較します。

$\alpha_0\beta_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\alpha_0\beta_1 = 0$
$\alpha_1\beta_0 = 0$
$\alpha_1\beta_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$

式(2)より、 $\alpha_0 = 0$ または $\beta_1 = 0$ です。

もし $\alpha_0 = 0$ なら、式(1)は $0 = 1/\sqrt{2}$ となり矛盾。
もし $\beta_1 = 0$ なら、式(4)は $0 = 1/\sqrt{2}$ となり矛盾。

したがって、ベル状態をテンソル積で表す解は存在しません。証明終了。この事実は、「個々の粒子の状態は定義できず、全体系としての状態しか存在しない」ことを意味します。

3. エンタングルメントを作る：CNOTゲート

では、どうやってこの不思議な状態を作るのでしょうか？これには2量子ビットゲートである CNOT（制御NOT）ゲート が必要です。

CNOTゲートの作用

CNOTゲートは、制御ビット（1ビット目）が $|1\rangle$ のときだけ、標的ビット（2ビット目）を反転（Xゲート適用）させます。

$CNOT = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

ベル状態生成回路

以下の手順でベル状態 $|\Phi^+\rangle$ を生成します。初期状態は $|00\rangle$ です。

ステップ1：アダマールゲートを1ビット目に適用

$(H \otimes I) |00\rangle = (H|0\rangle) \otimes |0\rangle = \left(\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}\right) \otimes |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |10\rangle)$