量子コンピュータ入門 #1：量子コンピュータのための数学基礎

量子コンピュータの動作原理は、量子力学という物理法則に基づいています。そして量子力学の言語は「線形代数」です。 本記事では、以降の「量子コンピューティング入門」シリーズを読み進めるにあたり、前提となる数学的知識を整理します。大学の教養課程（線形代数・微積分）程度の知識があれば読みこなせるように記述します。

1. 複素数（Complex Numbers）

量子力学では、確率は実数ですが、その元となる「確率振幅」は複素数で記述されます。

基本定義

虚数単位 $i$ を $i^2 = -1$ で定義します。複素数 $z$ は実部 $x$ と虚部 $y$ を用いて以下のように表されます。

$z = x + iy \quad (x, y \in \mathbb{R})$

極形式とオイラーの公式

量子ビットの位相を理解する上で、極形式は極めて重要です。 複素数 $z$ は、原点からの距離（絶対値）$r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ と、偏角 $\theta$ を用いて表せます。

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

ここで、オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を用いると、以下の簡潔な表現が得られます。

$z = r e^{i\theta}$

共役複素数と絶対値の二乗

$z = x + iy$ に対し、虚部の符号を反転させたものを共役複素数 $z^*$（または $\bar{z}$）と呼びます。

$z^* = x - iy = r e^{-i\theta}$

量子力学で確率を計算する際、絶対値の二乗が頻出します。

$|z|^2 = z z^* = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2$

2. ベクトル空間とブラケット記法（Bra-ket Notation）

量子力学では、ポール・ディラックが考案した「ブラケット記法」を用いてベクトルを扱います。これに慣れることが最初のステップです。

ケットベクトル（Ket Vector）

列ベクトルを「ケット」と呼び、$|v\rangle$ と書きます。例えば、2次元複素ベクトル空間 $\mathbb{C}^2$ のベクトルは：

$|v\rangle = \begin{pmatrix} v_0 \\ v_1 \end{pmatrix}, \quad v_0, v_1 \in \mathbb{C}$

ブラベクトル（Bra Vector）

行ベクトルであり、ケットベクトルのエルミート共役（随伴：転置して複素共役をとったもの）を「ブラ」と呼び、$\langle v|$ と書きます。

$\langle v| = (|v\rangle)^\dagger = (v_0^* \quad v_1^*)$

※ $\dagger$（ダガー）はエルミート共役を表す記号です。

内積（Inner Product）

ブラとケットを組み合わせると内積になります（ブラ・ケット）。 $|a\rangle = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix}, |b\rangle = \begin{pmatrix} b_0 \\ b_1 \end{pmatrix}$ のとき、

$\langle a | b \rangle = (a_0^* \quad a_1^*) \begin{pmatrix} b_0 \\ b_1 \end{pmatrix} = a_0^* b_0 + a_1^* b_1$

内積の結果は複素数（スカラー）になります。 自分自身との内積 $\langle v | v \rangle$ は、ベクトルの長さ（ノルム）の2乗となり、必ず正の実数になります（$|v\rangle \neq 0$ の場合）。

$\langle v | v \rangle = |v_0|^2 + |v_1|^2 = ||v||^2$

正規直交基底

量子コンピューティングでは、計算基底（Computational Basis）として以下の2つのベクトルをよく用います。

$|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad |1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

これらは互いに直交し、長さが1です（正規直交）。

• 正規性：$\langle 0 | 0 \rangle = 1, \quad \langle 1 | 1 \rangle = 1$
• 直交性：$\langle 0 | 1 \rangle = 0, \quad \langle 1 | 0 \rangle = 0$

これをクロネッカーのデルタ $\delta_{ij}$ を用いて $\langle i | j \rangle = \delta_{ij}$ と書くこともあります。

3. 線形演算子と行列

量子ゲートは、ベクトル空間上の線形変換（行列）として表現されます。

外積（Outer Product）

ケットとブラを $|a\rangle\langle b|$ の順で並べると、行列（演算子）になります。 例えば $\mathbb{C}^2$ の場合：

$|a\rangle\langle b| = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} (b_0^* \quad b_1^*) = \begin{pmatrix} a_0 b_0^* & a_0 b_1^* \\ a_1 b_0^* & a_1 b_1^* \end{pmatrix}$

特に射影演算子 $P_0 = |0\rangle\langle 0|$ や $P_1 = |1\rangle\langle 1|$ は重要です。

$|0\rangle\langle 0| = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} (1 \quad 0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

ユニタリ行列（Unitary Matrix）

量子ゲートを表す行列 $U$ は、必ず ユニタリ行列 です。 定義は以下の通りです。

$U^\dagger U = U U^\dagger = I$

ここで $I$ は単位行列です。 ユニタリ行列の重要な性質は、ベクトルの内積（長さや角度）を保つ ことです。 $|\psi'\rangle = U|\psi\rangle, |\phi'\rangle = U|\phi\rangle$ とすると、

$\langle \psi' | \phi' \rangle = (U|\psi\rangle)^\dagger (U|\phi\rangle) = \langle \psi | U^\dagger U | \phi \rangle = \langle \psi | I | \phi \rangle = \langle \psi | \phi \rangle$

これは、量子計算の過程で確率の総和（ベクトルのノルムの2乗）が常に1に保たれることを保証します。

エルミート行列（Hermitian Matrix）

観測量（オブザーバブル）やハミルトニアン（エネルギー）を表す行列 $H$ は、エルミート行列 です。 定義は $H^\dagger = H$、つまり自分自身が随伴行列と等しい行列です。

エルミート行列の重要な性質：

1. 固有値はすべて実数である（観測結果は実数値で得られるため）。
2. 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する。

4. テンソル積（Tensor Product）

複数の量子ビット（多体系）を扱う場合、ベクトル空間はテンソル積によって拡張されます。

ベクトルのテンソル積

2つのベクトル $|a\rangle \in \mathbb{C}^2$ と $|b\rangle \in \mathbb{C}^2$ のテンソル積 $|a\rangle \otimes |b\rangle$（または単に $|a\rangle|b\rangle$, $|ab\rangle$）は、4次元のベクトルになります。

$|a\rangle \otimes |b\rangle = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} b_0 \\ b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_0 \cdot \begin{pmatrix} b_0 \\ b_1 \end{pmatrix} \\ a_1 \cdot \begin{pmatrix} b_0 \\ b_1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_0 b_0 \\ a_0 b_1 \\ a_1 b_0 \\ a_1 b_1 \end{pmatrix}$

行列のテンソル積

演算子も同様に拡張されます。$A$ と $B$ が $2 \times 2$ 行列の場合、$A \otimes B$ は $4 \times 4$ 行列になります。

$A \otimes B = \begin{pmatrix} A_{00} B & A_{01} B \\ A_{10} B & A_{11} B \end{pmatrix}$

この性質により、量子ビットの数 $n$ が増えると、状態空間の次元は $2^n$ で指数関数的に爆発します。これが量子コンピュータの潜在能力の源泉の一つです。

まとめ

本記事では、量子コンピューティングの理解に必要な「言語」を定義しました。

1. 複素数: 確率振幅の記述に必要。
2. ブラケット記法: ベクトル演算の見通しを良くする標準記法。
3. ユニタリ行列: 量子ゲート（可逆な操作）の数学的表現。
4. テンソル積: 複数の量子ビットを組み合わせるための演算。

量子コンピュータ入門 #2：情報のベクトル表現と量子ビット へ進む

参考資料

• Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. (2010). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press.
• Preskill, J. (2022). Lecture Notes for Physics 229: Quantum Information and Computation.
• 渡辺 昇, & 荒木 不二洋. (2004). 量子情報・量子コンピュータの数理.

更新履歴

ご注意: 本記事は2025年12月時点の情報に基づいています。最新情報は公式サイトをご確認ください。