量子コンピュータ入門 #2：情報のベクトル表現と量子ビット

前提知識: この記事は、線形代数と複素数の基礎知識を前提としています。不安な方は、先に 量子コンピュータ入門 #1：量子コンピュータのための数学基礎 をご一読ください。

「量子コンピュータは、0と1を同時に計算できるから速い」。 よく聞く説明ですが、これだけでは工学的な応用やアルゴリズムの理解には至りません。本シリーズでは、量子コンピュータを 「複素ベクトル空間上の情報の変換プロセス」 として厳密に定義し直します。

1. 情報をベクトルで表す

まず、古典的なコンピュータの最小単位である「ビット」を、線形代数の言葉で再定義してみましょう。

古典ビットのベクトル表現

古典ビットは $0$ または $1$ のいずれかの状態をとります。これを2次元ベクトル空間の基底ベクトルに対応させます。

$$0 \leftrightarrow |0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$1 \leftrightarrow |1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

古典的な計算機における「状態」は、この2つのベクトルの どちらか一方 に限られます。集合で書けば $S_{classical} = \{ |0\rangle, |1\rangle \}$ です。

量子ビット（Qubit）の定義

量子ビット（Quantum Bit = Qubit）は、この制約を取り払います。 量子ビットの状態 $|\psi\rangle$ は、2次元複素ベクトル空間 $\mathbb{C}^2$ 上の、長さ（ノルム）が1の任意のベクトル として定義されます。

$$|\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$$

ここで、$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$（複素数）であり、以下の正規化条件を満たします。

$$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$$

この $\alpha, \beta$ を 確率振幅 と呼びます。 古典ビットが「北極点」と「南極点」の2点しか許されないのに対し、量子ビットは「地球の表面（球面）上のすべての点」を状態として取り得ます（ブロッホ球の概念。次回詳述します）。

2. 重ね合わせ状態の物理的意味

式 $|\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle$ が表す「重ね合わせ（Superposition）」は、単なる「混合」とは異なります。

古典的な確率的ビットとの違い

コイン投げをして、まだ結果を見ていない状態を考えてみましょう。 表（0）が出る確率が50%、裏（1）が出る確率が50%だとします。この状態は確率分布として以下のように書けます。

$$P(0) = 0.5, \quad P(1) = 0.5$$

しかし、量子的な重ね合わせ状態 $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$ はこれとは本質的に異なります。 最も重要な違いは、係数 $\alpha, \beta$ が 複素数 であることです。

例えば、以下の2つの状態を考えます。

1. $|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$
2. $|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)$

どちらも測定すれば0と1が50%ずつの確率で出ますが、状態としては別物 です（内積をとると直交します：$\langle + | - \rangle = 0$）。 この「符号（位相）の情報」を持っていることが、量子アルゴリズムにおいて 干渉（Interference） という現象を引き起こし、計算の高速化に寄与します。

3. 測定（Measurement）：ボルンの規則

量子力学において、状態ベクトル $|\psi\rangle$ 自体を直接「見る」ことはできません。私たちができるのは「測定」だけです。

射影測定の公理

計算基底 $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ で測定を行うと、結果は必ず $0$ か $1$ のどちらかになります。 その確率は 確率振幅の絶対値の二乗 で与えられます（ボルンの規則）。

• 結果が $0$ である確率： $P(0) = |\langle 0 | \psi \rangle|^2 = |\alpha|^2$
• 結果が $1$ である確率： $P(1) = |\langle 1 | \psi \rangle|^2 = |\beta|^2$

正規化条件 $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ は、全確率が1になることに対応しています。

状態の収縮（State Collapse）

測定を行うと、量子状態は劇的に変化します。 測定結果が $0$ だった場合、測定直後の状態は $|0\rangle$ に変化（収縮）します。元の重ね合わせの情報（$\alpha, \beta$ の比率など）は、測定によって破壊され、失われます。

$$|\alpha|0\rangle + |\beta|1\rangle \xrightarrow{\text{測定: } 0} |0\rangle$$

これは、量子コンピュータが計算途中の膨大な情報を「のぞき見る」ことができないことを意味します。アルゴリズムの最後で、欲しい答えが高い確率で観測されるように、うまく確率振幅を操作（干渉）させる必要があるのです。

4. グローバル位相と相対位相

複素ベクトルにおいて、$e^{i\theta}$ （絶対値1の複素数）を掛けても、観測される確率は変わりません。

$$|\psi'\rangle = e^{i\theta} |\psi\rangle$$ $$P(0) = |\langle 0 | \psi' \rangle|^2 = |e^{i\theta} \alpha|^2 = |\alpha|^2$$

このような全体にかかる位相係数を グローバル位相（Global Phase） と呼び、物理的には区別がつかないため、通常は無視します。

一方、係数の間の相対的な位相差は重要です。

$$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + e^{i\phi}|1\rangle)$$

この 相対位相（Relative Phase） $\phi$ は、確率には直接現れませんが、別の基底（例えば $|+\rangle$ 基底）で測定した場合の結果を変えるため、物理的に重要な意味を持ちます。

まとめ

• 量子ビット: 2次元複素ベクトル空間の単位ベクトル $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$。
• 確率振幅: 係数 $\alpha, \beta$ は複素数であり、その二乗が観測確率になる。
• 測定: 観測すると状態は基底ベクトルのどれかに収縮する。
• 情報量: 測定前は連続的な複素数のパラメータを持つが、取り出せる情報は1ビット分だけである。

次回は、この量子ビットを幾何学的に視覚化する「ブロッホ球」と、状態を操作する「量子ゲート」を行列として定義します。

次へ：量子コンピュータ入門 #3：ブロッホ球と量子ゲートのユニタリ性

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参考資料

• Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. (2010). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press.
• IBM Quantum Learning: https://learning.quantum.ibm.com/
• Google AI Quantum: https://quantumai.google/

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更新履歴

ご注意: 本記事は2025年12月時点の情報に基づいています。最新情報は公式サイトをご確認ください。